Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол при стороне основания равен 45°. Найдите площадь поверхности

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2QWNIXS).

Так как пирамида правильная, то треугольник АВС равносторонний.

Треугольник ДОН прямоугольный и равнобедренный, так как угол ДНО = 45⁰, тогда ОН = ДО = h см.

В равностороннем треугольнике точка пересечения высот есть центр вписанной окружности. Тогда ОН = R = ВС / 2 * √3 = h.

BC = 2 * h * √3 см.

Определим площадь основания.

Sосн = ВС² * √3 / 4 = (2 * h * √3)² * √3 / 4 = h² * 3 * √3 cм².

Из прямоугольного треугольника ДОН определим длину гипотенузы ДН.

ДН² = ДО² + НО² = h2 + h² = 2 * h².

ДН = h * √2 см.

Определим площадь боковой грани пирамиды.

Sдвс = ВС * ДН / 2 = 2 * h * √3 *  h * √2 / 2 = h² * √6 cм².

Sбок = 3 * Sдвс = 3 * h² * √6 см².

Тогда Sпол = Sосн + Sбок = h² * 3 * √3 + 3 * h² * √6 = h² * 3 * √3 * (1 + √2) см².

Ответ: Полная площадь поверхности равна h² * 3 * √3 * (1 + √2) см².