Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольного треугольника к диагонали. делит ее на отрезки, равные 2 см и 8 см.

Поскольку перпендикуляр делит диагональ на отрезки 2 и 8 см, то длина диагонали равна: 

d = 2 + 8 = 10 см. 

Отрезки, на которые перпендикуляр h, проведенный из вершины, делит диагональ, являются проекциями сторон a и b прямоугольника на эту диагональ. Для двух прямоугольных треугольников, образованных сторонами a и b, их проекциями и перпендикуляром h, можем записать: 

h² = a² - 2² и h² = b² - 8². 

Отсюда: 

a² - 2² = b² - 8²; 

a² - 4 = b² - 64. 

Для прямоугольного треугольника, образованного соседними сторонами a и b и диагональю d, также по теореме Пифагора: 

a² + b² = 10²; 

a² = 100 - b²; 

Подставим полученное выражение для a² в уравнение a² - 4 = b² - 64. 

100 - b² - 4 = b² - 64; 

2 * b² = 160; 

b² = 80; 

b = √80 = 4√5 см. 

a² = 100 - b² = 100 - 80 = 20; 

a = √20 = 2√5 см. 

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон a и b: 

S = a * b = 2√5 * 4√5 = 40 см².