Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, у которого гипотенуза АВ=8 см, проведен

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2L5KyxY).

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого угол АСВ, а АС = ВС. Определим длину катетов СВ  и АС по теореме Пифагора АВ² = АС² + ВС² = 2 * АС².

АС² = АВ² / 2 = 64 / 2 = 32.

АС = 4 * √2 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСД, у которого угол АДС = 90⁰. Определим, по теореме Пифагора катет СД, являющийся высотой треугольника АВС.

СД² = АС² – АД² = 32 – 16 = 16.

СД = 4 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник РДС, у которого угол РДС = 30⁰, тогда РС = СД * tg60⁰ = 4 * √3. В треугольнике РДС угол ДРС = 180 – 90 – 69 = 30⁰.

Катет СД лежит против угла 30⁰, и равен половине длины гипотенузы РД, тогда РД = 2 * СД = 2 * 4 = 8 см.

Определим площадь треугольника АРБ.

Sарв = АВ * РД / 2 = 8 * 8 / 2 = 32 см².

Определим угол АРС.

tgАРС = РС / АС = 4 * √3 / 4 * √2 = √(3 / 2).

Угол АРС = arctg √(3 / 2).

Ответ: CP = 4 * √3, Sарв = 32 см², угол АРС = arctg √(3 / 2).