Биссектриса равнобедренного треугольника делит высоту, проведенную к основанию, на отрезки длиной 20 см и 16 см. Найдите

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2IVNuRh).

Определим длину высоты ВН.

ВН = ВК + КН = 20 + 16 = 36 см.

Так как АМ биссектриса угла ВАС, то АК так же биссектриса угла ВАН.

Тогда, по свойству биссектрисы угла: АВ / ВК = АН / КН.

АВ / 20 = АН / 16.

АВ / АН = 20 / 16 = 5 / 4.

Пусть длина отрезка АН = 4 * Х см, тогда АВ = 5 * Х см.

Из прямоугольного треугольника АВН, по теореме Пифагора:

ВН² = АВ² – АН².

1296 = 25 * Х² – 16 * Х².

9 * Х² = 1296.

Х² = 144.

Х = 12 см.

Тогда АВ = ВС = 5 * 12 = 60 см.

АН = 4 * 12 = 48 см.

Так как АВС равнобедренный, то СН = АН = 48 см. Тогда АС = 2 * 48 = 96 см.

Равс = АВ + ВС + АС = 60 + 60 + 96 = 216 см.

Ответ: Периметр треугольника равен 216 см.

   1. Биссектриса треугольника, проведенная к какой-либо стороне, делит эту сторону на части, пропорциональные двум другим сторонам.

   2. Пусть BH - высота равнобедренного треугольника ABC (см. рис. https://bit.ly/2HlZ2Ml), проведенная к основанию AC, и биссектриса AP делит высоту BH на части:

• BM = 20 см;
• HM = 16 см.

   3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем биссектриса AM делит сторону BH на части, пропорциональные сторонам AH и AB:

• AH : AB = MH : MB;
• AH : AB = 16 : 20 = 4 : 5.

   Введем коэффициент пропорциональности \'x\' для сторон AH и AB и к прямоугольному треугольнику ABH с гипотенузой AB применим теорему Пифагора:

• AH = 4x;
• AB = 5x.

• AH^2 + BH^2 = AB^2;
• (4x)^2 + (BM + HM)^2 = (5x)^2;
• 16x^2 + (20 + 16)^2 = 25x^2;
• 25x^2 - 16x^2 = 36^2;
• 9x^2 = (3 * 12)^2;
• x^2 = 3^2 * 12^2 : 9;
• x^2 = 12^2;
• x = 12 (см).

• AB = 5x = 5 * 12 = 60 (см);
• AH = 4x = 4 * 12 = 48 (см).

   В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой, следовательно:

      CH = AH = 48 (см);

• P = AB + BC + AC;
• P = AB + BC + AH + HC;
• P = 2 * (AB + AH);
• P = 2 * (60  + 48) = 2 * 108 = 216 (см).

    Ответ. Периметр треугольника: 216 см.