Диагональ прямоугольного параллелепипеда составляет с одной его боковой гранью угол 30 градусов, а с другой угол 45 градусов.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2MA7hCX).

Рассмотрим треугольник ДА1В1. Так как А1В1 перпендикулярно плоскости АА1ДД1, то и диагональ А1Д перпендикулярна ребру А1Д1, а следовательно, треугольник ДА1Д1 прямоугольный.

Катет А1В1 лежит против угла 30⁰, а следовательно равен половине длины гипотенузы ДВ1.

А1В1 = ДВ1 / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Так как АВСДА1В1С1Д1 параллелепипед, то А1В1 = Д1С1 = АВ = ДС = 6 см.

Рассмотрим треугольник ДС1В1. Так как С1В1 перпендикулярно плоскости СС1Д1Д, то и диагональ ДС1 перпендикулярна ребру С1Д1, а следовательно, треугольник ДС1В1 прямоугольный.

Так как, по условию, один из углов в прямоугольном треугольнике равен 45⁰, то этот треугольник равнобедренный, ДС1 = С1В1 = ДВ1 * Cos45 = 12 * √2 / 2 = 6 * √2 cм.

С1В1 = СВ = АД = А1Д1 = 6 * √2 cм.

Из прямоугольного треугольника ДСС1 определим катет СС1.

СС1² = ДС1² – ДС² = (6 * √2)² – 6² = 72 – 36 = 36.

СС1 = √36 = 6 см.

Тогда объем параллелепипеда равен: V = АД * ДС * СС1 = 6 * √2 * 6 * 6 = 216 * √2 cм³.

Ответ: Объем параллелепипеда равен 216 * √2 cм³.