В правильной шестиугольной призме A..F1, ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой AD1

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2WdHF4k).

В правильном шестиугольнике, малая диагональ ВД перпендикулярна сторона АВ, тогда треугольник АВД1 прямоугольный, а его высота ВН есть наше искомое расстояние.

Рассмотрим треугольник АДД1, у которого АД = 2 * ЕF = 2 * 1 = 2 см.

Тогда, о теореме Пифагора, АД1² = АД² + ДД1² = 4 + 1 = 5.

АД1 = √5 см.

Определим длину отрезка ВД из равнобедренного треугольника ВСД.

ВД² = ВС² + СД² – 2 * ВС * СД * Cos120 = 1 + 1 – 2 * 1 * 1 * (-1/2) = 3.

ВД = √3 см.

В прямоугольном треугольнике ВДД1, ВД1² = ВД² + ДД1² = 3 + 1 = 4.

ВД1 = 2 см.

Площадь треугольника АВД1 равна: Sавд1 = АВ * ВД1 / 2 = 1 * 2 / 2 = 1 см².

Так же SавД1 = ВН * АД1 / 2.

ВН = 2 * 1 / √5 = 2 / √5 см².

Ответ: Расстояние от точки В до АД1 равно 2 / √5 см².