Дана правильная треугольная пирамида,где боковое ребро равно 10 см и составляет с плоскостью угол в 30 градусов.Найти

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2T1hCMq).

Так как пирамида правильная, то в ее основании лежит равносторонний треугольник, а высота ДО проходит через точку пересечения высот треугольника.

В прямоугольном треугольнике АДО катет ДО лежит против угла 30⁰, тогда ДО = АД / 2 = 10 / 2 = 5 см.

Тогда АО² = АД² – ДО² = 100 – 25 = 75.

АО = 5 * √3 см.

Так как высоты равностороннего треугольника, в точке пересечения делятся в отношении 2 / 1, то ОН = АО / 2 = 5 * √3 / 2.

АН = АО + ОН = 5 * √3 + 5 * √3 / 2 = 3 * 5 * √3 / 2 = 15 * √3 / 2 см.

Применим формулу высоты равностороннего треугольника, и из нее определим длину ребра основания.

АН = ВС * √3 / 2.

ВС = АС * 2 / √3 = (15 * √3 / 2) * ( 2 / √3) = 15 см.

Определим площадь основания.

Sосн = ВС * АН / 2 = 15 * 15 * √3 / 2 / 2 = 225 * √3 / 4 см².

Определим объем пирамиды.

V = Sосн * ДО / 3 = (225 * √3 / 4) * 5 / 3 = 375 * √3 / 4 см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 375 * √3 / 4