Угол параллелограмма равен 60°,, разность сторон равна 4 см,а большая диагональ равна 14 см.Найдите меньшую диагональ

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2zDwnxF).

Обозначим сторону АВ параллелограмма через Х м, тогда, по условию, сторона АД = (Х + 4).

Так как сумма соседних углов параллелограмма равна 180⁰, то угол АДС = 180 – 60 = 120⁰.

Воспользуемся теоремой косинусов для треугольника АСД.

АС² = Х² + (Х + 4)² – 2 * Х * (Х + 4) * Cos120⁰.

196 = Х² + Х² + 8 * Х + 16 – 2 * Х * (Х + 4) * (-1 / 2).

196 = 2 * Х² + 8 * Х + 16 + Х² + 4 * Х.

3 * Х² + 12 * Х – 180 = 0.

Х² + 4 * Х – 60 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = 4² – 4 * 1 * (-60) = 16 + 240 = 256.

Х₁ = (-4 - √256) / (2 * 1) = (-4 – 16) / 2 = -20 / 2 = -10. (Не подходит, так как < 0).

Х₁ = (-4 + √256) / (2 * 1) = (-4 + 16) / 2 = 12 / 2 = 6.

АВ = 6 см, тогда АД = 6 + 4 = 10 см.

Из треугольника АВД, по теореме косинусов, определим меньшую диагональ ВД.

ВД2 = АВ2 + АД2 – 2 * АВ * АД * Cos60 = 36 + 100 – 2 * 6 * 10 * 1 / 2 = 136 – 60 = 76.

ВД = √76 = 2 * √19 см.

Проведем высоту ВН и из прямоугольного треугольника АВН определим катет ВН.

ВН = АВ * Sin60 = 6 * √3 / 2 = 3 * √3 см.

Определим площадь параллелограмма.

S = АД * ВН = 10 * 3 * √3 = 30 * √3 см2.

Ответ: Меньшая диагональ равна 2 * √19 см, площадь равна 30 * √3 см2.