В треугольник с основанием AC=9 см и высотой BD=13 см вписан квадрат KLMN так, что сторона KN лежит на основании AC,

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2Ujfrnb).

Так как в треугольник вписан квадрат, и одна из его сторон лежит на стороне треугольника, то отрезок LM параллелен основанию АС.

Тогда треугольники АВС и LBM подобны по двум углам.

Пусть длина стороны квадрата равна Х см, тогда LM = Х см, ВР = (ВД – Х) = (13 – Х) см.

ВД – высота треугольника АВС, ВР – высота треугольника ВМL.

Тогда, в подобных треугольниках:

АС / LM = ВД / ВР.

9 / Х = 13 / (13 – Х).

13 * Х = 9 * (13 – Х).

22 * Х = 117.

Х = 117 / 22 = 5(7/22) см.

Ответ: Длина стороны квадрата равна 5(7/22) см.