Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды в два раза больше высоты боковой грани, проведенной к стороне

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2NeZTC8).

Так как, по условию, пирамида правильная, то в ее основании лежит квадрат.

Пусть длина стороны квадрата равна Х см, тогда, по теореме Пифагора, длина диагонали АС будет равна: АС² = Х² + Х² = 2 * Х².

АС = Х * √2.

По условию, диагональ квадрата в два раза больше высоты боковой грани.

АС = 2 * ОМ.

Тогда ОМ = АС / 2 = Х * √2 / 2.

Проведем высоту ОО1 пирамиды, которая будет высотой, биссектрисой  и медианой равнобедренного треугольника КОМ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ОО1М, у которого гипотенуза ОМ = Х * √2 / 2, а катет О1М = КМ / 2 = Х / 2.

Тогда Sinо1ом = О1М / ОМ = (Х / 2) / (Х * √2 / 2) = 1 / √2 = √2 / 2.

Угол О1ОМ = arcsin(√2 / 2) = 45⁰.

Тогда угол КОМ = 2 * 45 = 90⁰.

Ответ: Угол между плоскостями несмежных боковых граней равен 90⁰.