1. В треугольнике АВС медиана АD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F известно, что площадь треугольника

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2VMiXsa).

Так как биссектриса ВЕ перпендикулярна медиане АД, то ВЕ есть биссектриса и высота треугольника АВД, а тогда треугольник АВД равнобедренный, АВ = ВД, а ВF еще и медиана треугольника АВД. Тогда АF = ДF.

В прямоугольных треугольниках АFE и ДFE, АF = ДF, а FE общая, тогда Safe = Sдfe = 5 см², тогда Sаде = 2 * 5 = 10 см².

Так как АВ = ВД, а АД медиана, то ВС = 2 * АД, тогда по свойству медианы треугольника,

ВС / АВ = СЕ / АЕ = 2 / 1.

СЕ = 2 * АЕ.

В треугольниках АДЕ и ЕДС общая высота ДН, тогда Sаед / Sсде = АЕ / СЕ = 1 / 2.

Sсде = 2 * Sаед = 2 * 10 = 20 см².

Тогда Sадс = Sаед + Sсде = 10 + 20 = 30 см².

А так как медиана АД делит треугольник АВС на два равновеликих треугольника, то Sавс = 2 * Sадс = 2 * 30 = 60 см².

Ответ: Площадь треугольника АВС равна 60 см².