1. Две стороны треугольника равны 14 и 8 см, а косинус угла между ними равен 6/7. Найдите площадь этого треугольника.

1. 1-й способ.

Опустим высоту ВМ (рис. https://bit.ly/2V8gBHd ).

Из треугольника АВМ cosA = AM/AB.

6/7 = AM/8;

AM = 6 * 8 / 7 = 48/7.

По теореме Пифагора АВ² = АМ² + ВМ².

ВМ² = АВ² — АМ² = 8² — (48/7)² = (8 + 48/7)(8 — 48/7) = 8/7 * 104/7 = 832/49.

ВМ = √(832/49) = √(64 * 13 / 49) = 8 * √13 / 7 = 8√13/7 (см).

Найдем площадь треугольника:

S = ½ АС * ВМ = ½ * 14 * 8√13 / 7 = (14 * 8 * √13) / (2 * 7) = 8√13 (см²).

2-й способ.

Применим основное тригонометрическое тождество.

sin²A = 1 — cos²A;

sinA = √(1 — 36/49) = √(13/49) = √13 / 7.

По формуле S = ½ AB * AC * sinA найдем площадь треугольника.

S = ½ * 8 * 14 * √13 / 7 = 8√13 (см²).

Ответ: S = 8√13 см².

2. Найдем координаты векторов АС и СВ.

Вектор АС = (5 — 0; - 1 — 0) = (5; - 1).

Вектор СВ = (2 — 5; 2 - (- 1)) = (- 3; 3).

Найдем скалярное произведение векторов АС и СВ.

АС * СВ = 5 * (- 3) + (- 1) * 3 = - 15 — 3 = - 18.

Найдем координаты вектора АВ.

Вектор АВ = (2 — 0; 2 — 0) = (2; 2).

Склярное произведение АС * АВ = 5 * 2 — 1 * 2 = 10 — 2 = 8.

Скалярное произведение СВ * АВ = - 3 * 2 + 3 * 2 = - 6 + 6 = 0.

Т.к. скалярное произведение векторов СВ * АВ = 0, то СВ ⊥ АВ.

Значит треугольник АВС — прямоугольный.