высота BH ромба ABCD пересекает диагональ AC в точке O AB=BD . Периметр ромба равен 24 см. Вычислите длину радиуса окружности

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2yEiEER).

Определим длину сторон ромба.

По условию периметр ромба равен 24 см, тогда длина стороны ромба равна 24 / 4 = 6 см.

Так как, по условию, АВ = ВД, то и АД = ВД, а следовательно, треугольник ВАД равносторонний.

Высота  АМ равностороннего треугольника равна: АМ = АВ * √3 / 2 = 6 * √3 / 2 = 3 * √3 см.

В равностороннем треугольнике АВД высоты ВН и АМ пересекаются в точке О, которая делит АМ на отрезки в отношении 2 / 1.

Тогда отрезок ОМ = (1/3) * АМ =  (1/3) * 3 * √3 = √3 см.

Определим площадь треугольника ВОД. Sвод = ОМ * ВД / 2 = √3 * 6 / 2 = 3 * √3 см².

Из равнобедренного треугольника ВОМ, по теореме Пифагора определим гипотенузу ОВ.

ОВ² = ВМ² + ОМ² = 3² + (√3)² = 9 + 3 = 12.

ОВ = 2 * √3 см.

Определим радиус описанной окружности.

R = (ОВ * ОД * ВД) / 4 * S = (2 * √3 * 2 * √3 * 6) / (4 * 3 * √3) = 6 / √3 = 2 * √3 см.

Ответ: Радиус окружности равен 2 * √3 см.