В трапеции ABCD диагонали пересекаются в точке О, а их середины образуют отрезок MN = 6 см. Высота трапеции равна 10

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2McU6aP).

Так как, по условию, отрезок MN соединяет середины диагоналей, то он лежит на средней линии трапеции. Продлим отрезок MN до пересечения с боковыми сторонами трапеции, тогда КР – средняя линия трапеции.

В треугольнике ВСД отрезок NL его средняя линия и равна половине АД. NL = АД / 2 = 36 / 2 = 18 см. Тогда NL = 18 – 6 = 12 cм.

В треугольнике АВС отрезок КМ его средняя линия и равен половине ВС. КМ = ВС / 2.

КМ = NL так как они средние линии треугольников, у которых одно основание ВС. Тогда средняя линия трапеции равна: КР = КМ + MN + NL = 12 + 6 + 12 = 30 см.

ВС = 2 * КР – АД = 60 – 36 = 24 см.

Тогда Sтрапеции = КР * ВН = 30 * 10 = 300 см².

Из точки С трапеции проведем параллельную прямую боковой стороне СД до пересечения с АД в точке Е.

В образованном треугольнике АСЕ длина основания равна АД + ДЕ, а так как ВСЕД параллелограмм, то ДЕ = ВС = 24 см.

АЕ = АД + ДЕ = 36 + 24 = 60 см.

Тогда площадь треугольника АДЕ равна площади трапеции 300 см².

В треугольниках АДЕ и MON все углы равны, как соответственные углы при пересечении параллельных прямых, тогда эти треугольники подобны.

K = АЕ / MN = 60 / 6 = 10.

Отношение площадей подобных треугоьников равно квадрату коэффициента подобия.

Sаде / Smon = 100.

S mon = 300 / 100 = 3 cм².

Ответ: S mon = 3 cм².