В прямоугольном треугольнике ABC (угол С=90 градусов) проведена высота CD так, что длина отрезка ВD на 4 см больше длины

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2N5qmlO).

По свойству высоты прямоугольного треугольника проведенной из вершины прямого угла, высота есть среднее пропорциональнее между проекциями катетов на гипотенузу.

СД = √АД * ВД.

Пусть длина высоты СД = Х см, тогда, по условию, длина отрезка равна: ВД = (Х + 4).

Тогда: Х = √(9 * (Х + 4)) = √(9 * Х + 36).

Возведем обе стороны равенства в квадрат.

Х² = 9 * Х + 36.

Х² – 9 * Х – 36 = 0.

Решим квадратное уравнение.

D = b² – 4 * a * c = (-9)² – 4 * 1* (-36) = 81 + 144 = 225.

Х₁ = (9 - √225) / (2 / 1) = (9 – 15) / 2 = -6 / 2 = -3. (Не подходит, так как < 0).

Х₂ = (9 + √225) / (2 / 1) = (9 + 15) / 2 = 24 / 2 = 12.

СД = 12 см, тогда ДВ = 12 + 4 = 16 см.

АВ = АД + ДВ = 9 + 16 = 25 см.

Из прямоугольного треугольника АСД определим гипотенузу АС.

АС² = СД² + АД² = 144 + 81 = 225.

АС = 15 см.

Из прямоугольного треугольника АВС, определим катет ВС по теореме Пифагора.

ВС2 = АВ2 – АС2 = 625 – 225 = 400.

ВС = 20 см.

Ответ: АВ = 25 см, ВС = 20 см, АС = 15 см.