В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S SA=25, BC=24корней из3. М точка пересечения медиан треугольника SAC.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2Ww2gka).

В основании пирамиды лежит правильный треугольник АВС, у которого точка О есть центр вписанной и описанной окружности а отрезки ОН и ОВ соответственно их радиусы.

ОВ = R = ВС / √3 = 24 * √3 / √3 = 24 см.

ОН = r = ВС / 2 * √3 = 24 * √3 / 2 * √3 = 12 см.

ВН = ОВ + ОН = 24 + 12 = 36 см.

Из прямоугольного треугольника ВОS, по теореме Пифагора определим длину катета OS.

OS² = BS² – OB² = 625 – 576 = 49.

OS = 7 см.

Прямоугольные треугольники SOH и МКН подобны по острому углу с коэффициентом подобия К = SH / MH = 3, по свойству медиан. Тогда МК = SO / 3 = 7 / 3. НК = ОН / 3 = 12 / 3 = 4 см, тогда ВК = ВН – НК = 36 – 4 = 32 см.

В прямоугольном треугольнике ВМК определим тангенс искомого угла МВК.

tgМВК = МК / ВК = 7 / 32.

Угол МВК = arctg(7/32).

Ответ: Угол между прямой ВМ и плоскостью основания равен arctg(7/32).