В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60 высота пирамиды 12 см найдите площадь

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2JTVGCx).

В прямоугольном треугольнике ДОН определим длину катета ОН и гипотенузу ДН.

tg60 = ДО / ОН.

ОН = ДО / tg60 = 12 / √3 = 4 * √3 см.

Sin60 = ДО / ДН.

ДН = ДО / Sin60 = 12 * √3 / 2 = 6 * √3 см.

В равностороннем треугольнике АВС медианы, они же высоты, в точке О делятся в отношении 2 / 1, тогда ОВ = 2 * ОН = 2 * 4 * √3 = 8 * √3 см, тогда ВН = ОВ + ОН = 12 * √3 см.

Высота ВН равностороннего треугольника АВС равна: ВН = АС * √3 / 2.

АС = 2 * ВН / √3 = 12 * √3 * 2 / √3 = 24 см.

Определим площадь треугольника АВС.

Sосн = АС * ВН / 2 = 24 * 12 * √3 / 2 = 144 * √3 см².

Sадс = АС * ДН / 2 = 24 * 6 * √3 / 2 = 72 * √3 см².

Тогда Sбок = 3 * Sадс = 3 * 72 * √3 = 216 * √3 см².

Sпов = Sосн + Sбок = 72 * √3 + 216 * √3 = 288 * √3 см².

Ответ: Площадь полной поверхности равна 288 * √3 см².