В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла; отрезок, соединяющий её основание с точкой пересечения

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/38l2uBD).

Отрезки СМ и АК медианы треугольника АВС.

По свойству медиан, точка их пересечения делит их в отношении 2/1 начиная с вершины.

Пусть ОМ = Х см, ВО = 2 * Х см, ВК = У см, ВС = 2 * У см.

Треугольник ВСМ прямоугольный, отрезок ОН перпендикуляр к ВС, а значит параллелен АС.

Тогда, по теореме Фалеса, отрезок ОН и катет АС отсекает на отрезках ВМ и СК пропорциональные отрезки.

ОМ / ОВ = СН / ВН = Х / 2 * Х = 1/2.

АН биссектриса угла А, тогда, по ее свойству: АС / СН = АВ / ВН.

АС * ВН = СН * АВ.

СН / ВН = АС / АВ = 1/2.

АВ = 2 * АС. Гипотенуза АВ в два раза больше катета АС, тогда угол АВС = 30⁰.

Угол ВАС = (90 – 30) = 60⁰.

Ответ: Острые углы треугольника равны 30⁰ и 60⁰.