В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при основании равен "альфа" . Найдите площадь полной поверхности

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/36izCYK).

Так как пирамида правильная, то ее вершина К проецируется в точку О, центр пересечения диагоналей. Боковые грани есть равнобедренные треугольники.

Тогда КН высота, медиана и апофема треугольника СДК, ОН средняя линия треугольника АСД, ОН = АД / 2 = СД / 2.

Из прямоугольного треугольника КОН гипотенуза КН = h / Sinα.

OH = h / tgα, тогда СД = 2 * h / tgα.

Площадь основания равна: Sосн = СД² = 4 * h² / tg²α.

Sбок = 4 * Sксд = 4 * СД * КН / 2 = 2 * (2 * h / tgα) * (h / Sinα) = 4 * h² / tgα * Sinα.

Sпов = Sосн + Sбок = (4 * h² / tg²α) + (4 * h² / tgα * Sinα) = (4 * h² / tgα) * (1 / tgα + 1 / Sinα) см².

Ответ: Площадь поверхности пирамиды равна (4 * h² / tgα) * (1 / tgα + 1 / Sinα) см².