В трапеции АВСД продолжения боковых сторон АВ и СД пересекаются в точке Р,Q-точка пересечения диагоналей этой трапеции.Найдите

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/34mcKX1).

По свойству трапеции, середины оснований трапеции, точка пересечения диагоналей, и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой.

Площадь треугольника Sарс = Sавq + Sврq + Spcq.

Sврq = Spcq так как РQ медиана треугольников ВРQ и ВСQ, тогда:

Sарс = Sавq + 2 * Sврq.

По условию, Sарс = 4 * Sавq.

4 * Sавq = Sавq + 2 * Sврq.

3  * Sавq = 2 * Sврq.

Sврq / Sавq = 3/2.

Треугольники ВРQ и ABQ имеют одну высоту, тогда Sврq / Sавq = ВР / АВ = 3/2.

3 * АВ = 2 * ВР.

АВ = 2 * ВР / 3.

АР = ВР + 2 * ВР / 3 = 5 * ВР / 3.

ВР / АР = 3/5.

Треугольники АРД и ВРС подобны по двум углам, тогда: ВС / АД = ВР / АР = 3/5.

Ответ: Отношение оснований равно 3/5.