в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с основанием 12 см, и боковой гранью 10. боковые рани пирамиды

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/359GGGV).

Так как все боковые грани наклонены к плоскости под углом 45⁰, то вершина Д пирамиды проецируется в центр вписанной окружности. Тогда перпендикуляры ОН, ОК, ОМ равны как радиусы вписанной окружности, а следовательно равны и прямоугольные треугольники ОДН,ОДМ, ОДК.

По теореме Герона определим площадь треугольника АВС.

Равс = АВ + ВС + АС = 10 + 10 + 12 = 32 см, тогда р = Р / 2 = 16 см.

Sавс = √16 * (16 – 10) * (16 – 10) * (16 – 12) = √16 * 6 * 6 * 4 = √2304 = 48 см².

Площадь треугольника АВС так же равна:

Sавс = р * r.

r = ОН = Sabs / p = 48 / 16 = 3 см.

Прямоугольный треугольник ДОН равнобедренный, так как угол ДНО = 45⁰, тогда ДО = ОН = 3 см.

Ответ: Высота пирамиды равна 3 см.