В равносторонний треугольник со стороной 1 вписан квадрат так, что одна из сторон квадрата лежит на стороне треугольника,

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/35pFU8U).

Построим высоту ВД равностороннего треугольника АВС.

Длина ВД = АС * √3 / 2 = √3 / 2 см.

Высота ВД треугольника АВС так же есть его медиана, тогда СД = АС / 2 = 1/2 см.

Пусть сторона квадрата КМНР равна Х см.

Тогда длина ДН = Х / 2, а длина отрезка СН = (1/2 – Х / 2) = (1 – Х) / 2 см.

Прямоугольные треугольники ВДС и МНС подобны по острому углу, тогда:

ВД / СД = МН / СН.

(√3 / 2) / (1/2) = Х / ((1 – Х) / 2).

 √3 = 2 * Х / (1 – Х).

√3 – Х * √3 = 2 * Х.

2 * Х + Х * √3 = √3.

Х * (2 + √3) = √3.

Х = √3 / (2 + √3) см.

Ответ: Сторона квадрата равна √3 / (2 + √3) см.