1.Сторона равностороннего треугольника равна 6 см, найдите радиус описанной окружности. 2.Точка О - центр вписанной окружности,

1)

Так как треугольник равносторонний, то радиус описанной окружности равен: R = а / √3 = 6 / √3 = 6 * √3 / 3 = 2 * √3 см.

Ответ: Радиус окружности равен 2 * √3 см.

2)

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/33HEtRq).

Из точки О проведем радиусы ОМ, ОК и ОН к точкам касания.

Тогда, по свойству касательных, проведенных из одной точки, АН = А = 5 см, СМ = СК = 3 см, так как ОМСК квадрат.

Пусть ВК = ВН = Х см.

Тогда периметр треугольника АВС равен: Равс= АС + АВ + ВС = 5 + 3 + 5 + Х + 3 + Х = 2 * Х + 16 см.

Площадь треугольника АВС = АС * ВС / 2 = 8 * (3 + Х) / 2 = 4 * (3 + Х) см.

Радиус вписанной окружности равен: R = ОМ = 2 * S / P = 2 * 4 * (3 + Х) / 2 * (Х + 8) = 3.

4 * (3 + Х) = 3 * (Х + 8).

12 + 4 * Х = 3 * Х + 24.

Х = 24 – 12 = 12.

Тогда ВС = Х + 3 = 12 + 3 = 15 см.

Sавс = АС * ВС / 2 = 8 * 15 / 2 = 60 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 60 см².