В прямоугольном треугольнике ABC высота CD, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2SoN06e).

Докажем, что треугольники АСД и ВСД подобны.

Так как высота СД проведена из вершины прямого угла на гипотенузу, то АД * ВД = СД².(1)

Площадь треугольника АСД равна: Sасд = СД * АД / 2 = 4 см2. Тогда АД = 8 / СД. (2).

Площадь треугольника ВСД равна: Sвсд = СД * ВД / 2= 1 см2, тогда ВД = 2 / СД. (3).

Умножим уравнение 2 на 3.

АВ * ВД = (8 / СД) * (2 / СД) = 16 / СД². Подставим его в уравнение 1.

16 / СД² = СД².

СД⁴ = 16.

СД² = 4.

СД = 2 см.

Ответ: Длина высоты СД равна 2 см.