В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из остальных сторон. Найти площадь

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2P6JU8F).

Пусть АВ = ВС = СД = Х см, тогда, по условию, АД = 2 * Х см.

Так как трапеция равнобедренная, то высота СН отсекает отрезок ДН равный полуразности оснований. ДН = (2 Х – Х) / 2 = Х / 2 см.

Из прямоугольного треугольника СДН, по теореме Пифагора, определим катет СН.

СН² = СД² – ДН² = Х² – Х² / 4 = 3 * Х² / 4.

СН = Х * √3 / 2 см.

Тогда Sавсд = (ВС + АД) * СН / 2 = 3 * Х * (Х * √3 / 2) / 2 = Х² * 3 * √3 / 4.

Рассмотрим треугольник АСД, вписанный в треугольник.

По теореме Пифагора, АС² = АН² + СН² = (9 * Х² / 4) + (3 * Х² / 4) = 12 * Х² / 4.

АС = Х * √3 см.

Sасд = АД * СН / 2 = 2 * Х * (Х * √3 / 2) / 2 = Х² * √3 / 2 см².

Так же Sавс = (АС * СД * АД) / 4 * R = (Х * √3) * Х * 2 * Х / 4 * R = Х³ * √3 / 2 * R.

Х² * √3 / 2 = Х³ * √3 / 2 * R.

X = R.

Тогда Sасд = R² * √3 / 2 см².

Ответ: Площадь трапеции равна R² * √3 / 2 см².