В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4 см, плоский угол при вершине равен 60 градусов. Найдите площадь

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2tVDHkv).

Боковые грани правильной пирамиды есть равнобедренные треугольники, а так как плоский уго при вершине пирамиды равен 60⁰, то треугольники равносторонние.

Пусть боковое ребро пирамиды равно Х см.

Тогда высота МН равностороннего треугольника ВСМ равна: МН = Х * √3 / 2 см.

Отрезок ОН есть средняя линия треугольника АВС, тогда ОН = АВ / 2 = Х / 2 см.

Тогда в прямоугольном треугольнике МОН МО² = МН² – ОН².

16 = (Х * √3 / 2)² – (Х / 2)² = Х² * 3 / 4 – Х² / 4 = Х² / 2.

Х² = 16 * 2 = 32.

Х = √32 = 4 * √2 см.

Тогда МН = 4* √2 * √3 / 2 = 2 * √6 см.

Определим площадь треугольника ВСМ.

Sвсм = ВС * МН / 2 = 4 * √2 * 2 * √6 / 2 = 4 * √12 = 8 * √3 см².

Тогда Sбок = 4 * Sвсм = 32 * √3 см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна 32 * √3 см².