В треугольнике ABC угол B = 120 градусов, а длина AB= на 7корень из3 меньше полупериметра треугольника. Найдите радиус

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2XZFQIL).

Отрезки АК и СМ, СН и СМ, ВК и ВН есть касательные к окружности.

Обозначим стороны треугольника АВС как: АВ = С, ВС = А, АС = В, а отрезки касательных:

AK = AM = x, BK = BН = y, CН = CM = z.

Тогда:

Х – У = С.

У + Z = A.

X – Z = B.

Произведем сложение трех уравнений системы.

А + В + С = Х – Z + Y + Z + X – Y = 2 * X.

Х = АК = А + В + С = Р / 2.

Так как, ко условию, АВ = (Р / 2) – 7* √3, а АК = Р / 2, то АВ = АК - 7* √3 = АВ + ВК - 7* √3.

ВК = 7* √3 см.

Углы КВН и АВС смежные, тогда угол КВН = (180 – 120) = 60⁰.

Отрезок ОВ есть биссектриса угла КВН, тогда угол КВА = 60 / 2 = 30⁰.

Треугольник ОВК прямоугольный, так как ОК радиус проведенный к точке касания.

 Тогда tg30 = KO / BK.

KO = BK * tg30 = 7* √3 * √3 / 3 = 7 см.

Ответ: Радиус окружности равен 7 см.