В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки А до плоскости BDA1.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/301owoO).

Построим диагонали А1Д и А1В боковых граней, и диагонали ВД и АС.

Так как в единичном кубе все грани квадраты со сторонний 1 см, то диагонали А1Д , А1В ВД равны, тогда треугольник ВА1Д равносторонний.

Определим длину диагонали ВД.

ВД2 = АВ2 + АД2 = 1 + 1 = 2.

ВД = √2 см.

Тогда АО = ВД / 2 = √2 / 2 см.

В равностороннем треугольнике  ВДА1 построим высоту А1О.

Тогда перпендикуляр АН есть наше искомое расстояние.

В прямоугольном треугольнике АА1О определим длину гипотенузы ОА1.

ОА1² = АА1² + АО² = 1 + 2 / 4 = 6 / 4.

ОА1 = √6 / 2.

Определим площадь треугольника АА1О.

S = АА1 * АО / 2 = (1 * √2 / 2) / 2 = √2 / 4 см².

Так же S = ОА1 * АН / 2.

АН = 2 * S / ОА1 = 2 * (√2 / 4) / (√6 / 2) = √2 / √6 = 1 / √3 = √3 / 3 см.

Ответ: От точки А до плоскости ВДА1 √3 / 3 см.