Внутри равнобедренного треугольника ABC с основанием ВС взята точка М такая, что угол МВС равен 30, угол МСВ равен 10.

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/39o5Hkj).

Проведем дополнительные построения.

Из точки А проведем биссектрису АО до пересечения с ВМ и точку О соединим с вершиной С.

Так как треугольник АВС равнобедренный, то угол АВС = АСВ = (180 – 80) / 2 = 50⁰.

Тогда в треугольнике АВО угол АВО = 50 – 30 = 20⁰, а тогда угол АОВ = (180 – 40 – 20) = 120⁰.

Треугольники АОВ и АОС равны по двум сторонам и углу между ними, тогда угол АСО = АВО = 20⁰.

Угол ОСМ = АСВ = ВСМ – АСО = 50 – 10 – 20 = 20⁰.

В треугольнике ВМС угол ВМС = 180 – 30 – 10 = 140⁰, тогда угол СМО = 180 – 140 = 40⁰, а угол СОМ = 180 – 40 – 20 = 120⁰.

В треугольниках ОСМ  ОСА сторона ОС общая и прилегающие к ней углы равны, тогда эти треугольники равны, а тогда СМ = АС, а треугольник АСМ равнобедренный с углом при вершине С равным 40⁰.

Тогда угол АМС = МАС = (180 – 40) / 2 = 70⁰.

Ответ: Угол АМС равен 70⁰.