В трапеции расстояние от центра вписанной окружности до концов боковой стороны равны 156 и 65 см,а до концов большего

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2FDcmvp).

По свойству трапеции, в которую вписана окружность, треугольник, образованный боковой стороной и центром окружности прямоугольный. Тогда, в треугольнике СОД, по теореме Пифагора определим длину гипотенузы СД. СД² = ОС² + АД² = 4225 + 24336 = 28561. СД = 169 см.

Проведем в треугольнике СОД высоту ОН.

Так как высота проведена к гипотенузе из прямого угла, то ОН = ОС * ОД / СД = 65 * 156 / 169 = 60 см. Высота ОН есть радиус окружности.

Проведем в треугольнике АОД высоту ОК.

В прямоугольном треугольнике АОК АК² = АО² – ОК² = 10000 – 3600 = 6400. АК = 80 см.

Проведем радиус ОР в точку касания Р, тогда, по свойству касательных, проведенных из одной точки, АР = АК = 80 см.

В прямоугольном треугольнике АОВ высота ОР проведена из вершины прямого угла к гипотенузе, тогда ОР2 = АР * ВР.

ВР = ОР2 / АР = 3600 / 80 = 45 см, тогда АВ = АР + ВР = 80 + 45 = 125 см.

Так как в трапецию вписана окружность, то (АВ + СД) = (ВС + АД) = 125 + 169 = 294 см.

Высота трапеции равна двум радиусам окружности h = 2 * 60 = 120 см.

Тогда Sавсд = (ВС + АД) * h / 2 = 294 * 120 / 2 = 17640 см².

Ответ: Площадь трапеции равна 17640 см².