Вычислить площадь равносторонней трапеции основания которой равны 12 см, 18 см, а диагонали взаимно перпендикулярны

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2yhePoZ).

Первый способ.

Через точку О, точку пересечения диагоналей трапеции, проведем высоту КН. В равнобедренной трапеции диагонали, в точке пересечения делятся на равные отрезки. ОВ = ОС, ОА = ОД. Тогда треугольники ВОС и АОД прямоугольные и равнобедренные. В треугольнике ВОС, отрезок ОК есть высота, биссектриса и медиана треугольника. Тогда, по теореме Пифагора, определим длину катетов ОВ и ОС. ВС2 = 2 * ОВ2.

12² = 2 * ОВ².

ОВ² = 144 / 2 = 72.

ОВ = 6 * √2 см.

Из прямоугольного треугольника ВКО определим, по теореме Пифагора, катет КО.

КО² = ОВ² – ВК² = 72 – 36 = 36.

КО = 6 см.

Аналогично рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АОД.

АД² = 2 * АО².

18² = 2 * АО².

АО² = 162.

АО = 9 * √2 см.

ОН² = ОА² – АН².

ОН2 = 162 – 81 = 81.

ОН = 9 см.

Тогда высота КН = КО + ОН = 6 + 9 = 15 см.

Определим площадь трапеции.

S = (ВС + АД) * КН / 2 = (12 + 18) * 15 / 2 = 225 см².

Второй способ.

Если в равнобедренной трапеции диагонали пересекаются под прямым углом, то ее высота равна средней линии трапеции.

КН = (ВС + АД) / 2 = (12 + 18) / 2 = 15 см.

Определим площадь трапеции.

S = (ВС + АД) * КН / 2 = (12 + 18) * 15 / 2 = 225 см².

Ответ: Площадь трапеции равна 225 см².