В окружность вписан четырёхугольник, две стороны которого равны 16 см и 30 см, а угол между ними 60°. Найдите две другие

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2SwyFc7).

Проведем диагональ ВД четырехугольника.

По теореме косинусов определим из треугольника ВСД длину стороны ВД.

ВД² = ВС² + СД² – 2 * ВС * СД * Cos60 = 256 + 900 – 2 * 16 * 30 * 1 / 2 = 1156 – 480 = 676.

ВД = 26 см.

Так как АВСД вписан в окружность, то сумма его противоположных углов равна 1800, тогда угол ВАД = 180 – 60 = 120⁰.

Пусть длина стороны АД = Х см, тогда, по условию, АВ = (Х + 2) см.

Тогда из треугольника АВД, по теореме косинусов определим длину АД.

ВД² = АВ² + АД² – 2 * АВ * АД * Cos120.

676 = (Х + 2)² + Х² – 2 * (Х + 2) * Х * (-1/2).

676 = Х² + 4 * Х + 4 + Х² + Х² + 2 * Х.

3 * Х² + 6 * Х – 672 = 0.

Х² + 2 * Х – 224 = 0.

Решим квадратное уравнение.

Х1 = -16. (Не подходит, так как отрицательное).

Х2 = АД = 14 см.

Тогда АВ = 14 + 2 = 16 см.

Ответ: Длины сторон равны 14 см и 16 см.