через точку пересечения биссектрис треугольника АВС проведена прямая, паралельная прямой АС, пересекающая сторону АВ

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2Qc2ABB).

Рассмотрим треугольник АМО. Так как АО, по условию, биссектриса угла А, то угол МАО = КАО.

Угол МОА = КАО как накрест лежащие углы при пересечении параллельных МN и АС секущей АО. Тогда угол МАО = МОА, а следовательно, треугольник АМО равнобедренный, АМ = МО.

 Рассмотрим треугольник NCО. Так как CО, по условию, биссектриса угла C, то угол NCО = КCО.

Угол NОC = КCО как накрест лежащие углы при пересечении параллельных МN и АС секущей CО. Тогда угол NCО = NОC, а следовательно, треугольник NOC равнобедренный, NC = NО.

MN = MO + NO = AM + NC, что и требовалось доказать.