Высоты AA1 и CC1 остроугольногоВысоты AA1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2OMoaPX).

Первый способ.

Докажем, что прямоугольные треугольники АЕС1 и СЕА1 подобны.

Углы АЕС1 и СЕА1 равны как вертикальные углы при пересечении прямых АА1 и СС1, тогда треугольники подобны по острому углу.

Тогда:

АЕ / СЕ = ЕС1 / ЕА1.

СЕ * ЕС1 = АЕ * ЕА1.

Перепишем пропорцию в виде: ЕС1 / АЕ = ЕА1 / СЕ, что доказывает подобие треугольников А1С1Е и АСЕ, тогда угол CC1A1 и CAA1 равны. Что и требовалось доказать.

Второй способ.

Проведем окружность через точки А, С, С1, А1. Треугольники АА1С и СС1А прямоугольные, тогда АС диаметр окружности. Внутренние углы CC1A1 и CAA1 опираются на одну дугу СА1, следовательно углы CC1A1 и CAA1 равны, что и требовалось доказать.