В трапеции АВСD с основаниями ВС и АD диагонали пресекаются в точке О. Площади треугольников BOC и AOD равны S1 и S2.

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2sOqKsl).

Треугольники АОВ и СОД подобны по двум углам. Угол АОВ равен углу ОСД как вертикальные углы при пересечении диагоналей. Угол ОВА равен углу ОДС как накрест лежащие углы. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

S1 / S2 = (ОС / ОА)².

ОС / ОА = √(S1 / S2).

Рассмотрим треугольники АОД и СОД в которых можно провести одну высоту к основаниям ОА и ОС.

Тогда отношение площадей этих треугольников равно отношению оснований.

Sсод / S2 = ОС / ОА = √(S1 / S2).

Sсод = S2 * √(S1 / S2) = √(S1 * S2).

Так как диагонали трапеции отсекают два равновеликих треугольника при боковых сторонах, то Sаов = S сод = √(S1 * S2).

Тогда площадь трапеции будет равна:

Sавсд = S1 + S2 + √(S1 * S2) + √(S1 * S2) = S1 + 2 * √(S1 * S2) + S2 = (√S1 + √S2)² cм².

Ответ: Площадь трапеции равна (√S1 + √S2)² cм².