Средняя линия трапеции равна 15см, сумма углов при одном из оснований равна 90 . Найдите площадь трапеции, если одна

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2F4mUEa).

Пусть основание ВС = Х см, тогда, по условию, основание АД = (Х + 10) см.

Средняя линия трапеции равна: КМ = (ВС + АД) / 2 = (Х + Х + 10) / 2 = 15.

2 * Х + 10 = 30.

Х = ВС = 20 / 2 = 10 см.

АД = 10 + 10 = 20 см.

Продлим боковые линии трапеции до пересечения их в точке К. Угол АКД = 90⁰, так как, по условию, сумма углов при большем основании трапеции равно 90⁰. Тогда треугольник АКД прямоугольный.

Треугольники АКД и ВКС подобны. Пусть отрезок ВК = Х см, тогда АК = √10 + Х.

Тогда: АД / ВС = АК / ВК.

20 / (Х + √10) = 10 / Х.

10 * Х + 10 * √10 = 20 * Х.

10 * Х = 10 * √10.

Х = ВК = √10 см.

Тогда АК = 2 * √10.

Тогда по теореме Пифагора ДК² = АД² – АК² = 400 – 40 = 360.

ДК = 6 * √10 см.

КС² = ВС² – ВК² = 100 – 10 = 90.

КС = 3 * √10.

Определим площадь треугольника АКД. Sакд = АК * ДК / 2 = 2 * √10 * 6 * √10 / 2 = 60 см².

Площадь треугольника ВКС равна: Sвкс = ВК * КС / 2 = √10 * 3 * √10 / 2 = 30 / 2 = 15 см².

Определим площадь трапеции: Sавсд = Sакд – Sвкс = 60 – 15 = 45 см².

Ответ: Площадь трапеции равна 45 см².