1. Какое наибольшее количество лучей на плоскости может выходить из одной точки, чтобы каждый угол, образованный двумя

Угол называется тупым, если он больше 90°. Угол, равный 90°, уже не тупой, а прямой. Сумма всех возможных углов образованных из одной точки - вершины будет равна 360°. Вычислим максимальное количество тупых углов, образованных из одной точки. Обозначим количество тупых углов буквой х, составим и решим неравенство:

360 / х > 90°;

х < 360 / 90;

х < 4;

Количество тупых возможных углов из одной точки меньше 4 штук, значит максимально возможное количество таких углов - 3. Следовательно, из одной точки можно провести только 3 луча, образующих тупые углы.