В прямой треугольной призме ABCA1B1C1, угол ACB=90 градусов, АС=ВС=а. Прямая B1C составляет с плоскостью грани АА1В1В

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2tvPKEO).

Так как в основании лежит прямоугольный и равнобедренный треугольник, то его гипотенуза АВ равна: АВ² = 2 * а².

АВ = а * √2 см.

Проведем высоту СН, которая в равнобедренном треугольнике есть и его медиана, тогда АН = ВН = а * √2 / 2  см.

Тогда СН² = а² – а² * / 2.

СН  = а * √2 / 2  см.

В прямоугольном треугольнике СВ1Н угол СВ1Н, по условию, равен 30⁰, тогда катет СН лежит против него, а гипотенуза СВ1 = 2 * СН = а * √2.

Из прямоугольного треугольника СВВ1, ВВ1² = СВ1² – СВ² = (а * √2)² – а² = а².

ВВ1 = а см.

Периметр основания призмы равен: Росн = АВ + ВС + АС = а * √2 + а + а = а * (2 + √2) см.

Тогда Sбок = Росн * ВВ1 = а * (2 + √2) * а = а² * (2 + √2) см².

Ответ: Площадь боковой поверхности равна а² * (2 + √2) см².