в квадрате АВСД точка К - середина стороны ВС, точка М - серидина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и МД перпендикулярны,

Для решения рассмотрим рисунок (http://bit.ly/2V9C7vr).

Так как АВСД квадрат, то АВ = ВС = СД = АД.

По условию точка К и М середины сторон ВС и АВ, тогда ВК = АМ.

Треугольники АВК и АДМ прямоугольные у которых ВК = АМ, АВ = АД, тогда треугольники подобны по двум катетам.

Тогда угол ВАК = АДМ.

В треугольнике АМ сумма углов АМД + АДМ = 90⁰, тогда и в треугольнике АМЕ сумма углов МАЕ + АМЕ = 90⁰, а значит угол АЕМ = 180 – 90 = 90⁰.

Тогда отрезки ДМ и АК пересекаются под прямым углом, что и требовалось доказать.

Треугольники АВК и АЕМ прямоугольные, у которых угол А общий, тогда треугольники подобны по острому углу, что и требовалось доказать.