В равнобедренной трапеции MNKP диагональ MK является биссектрисой угла при нижнем основании MP. Меньшее основание NK

Для решения рассмотрим рисунок (https://bit.ly/2LRzpFr).

Определим углы трапеции если, по условию, один угол в два раза меньше другого.

Пусть угол NMP и KPM равны Х градусов, тогда углы MNK и PKN равны 2 * Х.

Х + Х + 2 * Х + 2 * Х = 360.

6 * Х = 360.

Х = 60⁰.

Угол NMP = KPM = 60⁰.

Тогда угол MNK = PKN = 2 * 60 = 120⁰.

Так как МК биссектриса угла NМP, то угол КME = NMK = 60/2 = 30⁰. Угол NKM = NMK, как накрест лежащий угол при пересечении секущей МК параллельных прямых МР и NK. Тогда треугольник MNK равнобедренный по двум углам при основании, следовательно, MN = NK = KP = 8 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник РЕК, у которого угол Е прямой, а угол ЕКР = 180 – 90 – 60 = 30⁰. Тогда катет ЕР, лежащий против угла 30⁰ равен половине длины КР, ЕР = 8/2 = 4 см.

Тогда высота КЕ² = КР² – ЕР² = 64 – 16 = 48.

КЕ = 4 * √3.

Найдем большее основание трапеции. МР = NK + 2 * EP = 8 + 2 * 4 = 16 см.

Тогда площадь трапеции равна: S = KE * (NK + MP) / 2 = 4 * √3 * (8 + 16) / 2 = 48 * √3.

МЕ = МР – ЕР = 16 – 4 = 12 см.

МЕ / ЕР = 12/4 = 3/1.

Ответ: S = 48 * √3, МЕ / ЕР = 3/1.