Знайдіть кут між стороною АВ і медіаною ВВ1 трикутника АВС, якщо А(3; 5; 0), В(0; – 6; 0), С(3; 1; 0).

Объяснение:

Спочатку знайдемо координати точки B1 - середини сторони AC:

B1 = [(3+0)/2; (5+1)/2; (0+0)/2] = [1.5; 3; 0]

Тоді знайдемо вектор AB і вектор B1V, де V - середина сторони BV:

AB = B - A = [0-3; -6-5; 0-0] = [-3; -11; 0]

B1V = V - B1 = [0-1.5; 0-3; 0-0] = [-1.5; -3; 0]

Знайдемо їх скалярний добуток:

AB · B1V = (-3)·(-1.5) + (-11)·(-3) + 0·0 = 33

Також знайдемо довжини векторів AB і B1V:

|AB| = sqrt((-3)^2 + (-11)^2 + 0^2) = sqrt(130)

|B1V| = sqrt((-1.5)^2 + (-3)^2 + 0^2) = sqrt(13.25)

Тоді косинус кута між стороною AB і медіаною BV дорівнює:

cos α = (AB · B1V) / (|AB| · |B1V|) = 33 / (sqrt(130) · sqrt(13.25)) ≈ 0.9104

І кут між ними дорівнює:

α = arccos(0.9104) ≈ 24.78 градусів

Отже, кут між стороною AB і медіаною BV трикутника АВС дорівнює близько 24.78 градусів

Медіана ВВ1 ділить сторону АВ навпіл і має напрямок на середину С, тому ми можемо знайти точку B1(1.5, -2.5, 0), яка є серединою відрізка AV1, де V1 - точка перетину медіани ВВ1 зі стороною СВ.Точка V1 має координати:V1 = (1/2) * (B + B1) = (1/2) * (0, -6, 0) + (1/2) * (3, 2, 0) = (3/2, -2, 0)Тепер можемо знайти вектори AB, BV1 та їхнє скалярний добуток:AB = B - A = (0, -6, 0) - (3, 5, 0) = (-3, -11, 0)BV1 = V1 - B = (3/2, -2, 0) - (0, -6, 0) = (3/2, 4, 0)AB · BV1 = (-3, -11, 0) · (3/2, 4, 0) = (-9/2) - 44 = -53/2Так як медіана ВВ1 ділить сторону АВ навпіл, то кут між стороною АВ та медіаною ВВ1 дорівнює куту між векторами AB та BV1, тому використаємо формулу для скалярного добутку векторів:cos(θ) = (AB · BV1) / (|AB| * |BV1|)|AB| = sqrt((-3)^2 + (-11)^2) = sqrt(130)|BV1| = sqrt((3/2)^2 + 4^2) = sqrt(25/4)cos(θ) = (-53/2) / (sqrt(130) * sqrt(25/4)) = -53 / (2 * sqrt(130))Отже, кут між стороною АВ та медіаною ВВ1 дорівнює arccos(-53 / (2 * sqrt(130))), або близько 166.8 градусів.