У прямокутному трикутнику АВС на катеті АС та гіпотенузі АВ взято відповідно точки М і К такі, що АМ = 1/4AC і AK = 1/4AB. Доведи, що ∆AMK - прямокутний. Знайди МК, якщо ВС = 12 см.​

Ответ:

Звернемо увагу на те, що точки М та К ділять відповідні сторони трикутника АВС у співвідношенні 1:4. Таким чином, МК паралельна до гіпотенузи АВ та ділить її у співвідношенні 1:4. Отже, МК = 1/5AB.

Для доведення того, що ∆AMK - прямокутний, звернемо увагу на те, що ∆AMC та ∆AKB - подібні трикутники за спільністю кута А і взаємно-пропорційністю сторін. Таким чином, маємо:

AC / AM = AB / AK

AB = 5AC

Далі, з теореми Піфагора маємо:

BC^2 = AB^2 - AC^2 = 25AC^2 - AC^2 = 24AC^2

BC = 2√6 AC

Тепер розглянемо ∆AMK. Маємо:

AM^2 + MK^2 = AK^2

1/16 AC^2 + 1/25 AB^2 = 1/16 AB^2

AB^2 / 25 + AB^2 / 16 = AB^2 / 16

AB^2 / 25 = AB^2 / 256

MK^2 = AB^2 / 625

MK = AB / 25 = BC / 10 = 2√6 AC / 10 = √6 AC / 5

Таким чином, ∆AMK - прямокутний з кутом при вершині М, оскільки кут МАК є прямим за теоремою Піфагора, а кут АМК дорівнює куту АСВ, оскільки МК паралельна до ВС та МА паралельна до СВ. Отже, МК = √6 AC / 5.

Відповідь: МК = √6 AC / 5, де АС = 12 см.