Сфера касается сторон треугольника АВС,плоскости которого принадлежит ее центр.Найдите площадь сферы,если АВ=ВС=15 см,АС=24

Рассмотрим треугольник $ABC$, плоскость которого является плоскостью симметрии для сферы, описанной вокруг этого треугольника. Пусть $O$ - центр описанной сферы, тогда $OA=OB=OC=R$, где $R$ - радиус сферы.

Из равенства сторон треугольника $ABC$ следует, что $\triangle ABC$ - равнобедренный. Пусть $M$ - середина стороны $BC$, тогда $AM$ - медиана треугольника $ABC$. Для равнобедренного треугольника медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Следовательно, $AM$ - биссектриса и высота треугольника $ABC$.

Из прямоугольного треугольника $AMC$ найдем $AM$:

$$AM=\sqrt{AC^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2}=\sqrt{24^2-7.5^2}=\frac{21}{2}$$

Заметим, что $AO=OM+AM=\frac{R}{2}+\frac{21}{2}$. По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $AOM$ найдем $R$:

$$(AO)^2=AM^2+(OM)^2 \Rightarrow \left(\frac{R}{2}+\frac{21}{2}\right)^2=R^2-\left(\frac{15}{2}\right)^2$$

$$R^2+2R\cdot 21+\left(\frac{21}{2}\right)^2=R^2-\frac{15^2}{4}$$

$$R=\sqrt{\frac{21^2-15^2/4}{1+2\cdot 21}}=\frac{9\sqrt{15}}{2}$$

Таким образом, площадь сферы равна:

$$S=4\pi R^2=4\pi\left(\frac{9\sqrt{15}}{2}\right)^2=\boxed{2430\pi\text{ см}^2}$$