У прямокутному трикутнику ABC (кутB= 90°) на катеті ВС по- значено точку К так, що СК : КВ = 2 : 1. Доведіть, що середина медіани ВМ лежить на відрізку АК.

Ответ:

Объяснение:

Дано: прямокутний трикутник ABC, CK : KB = 2 : 1, М - середина AB.

Потрібно довести, що М лежить на АК.

Розв'язок:

Оскільки М - середина AB, то BM = MA.

Також з умови задачі маємо:

CK : KB = 2 : 1.

Поділимо обидві частини на CK:

KB/CK = 1/3.

З теореми Піфагора отримаємо:

AB^2 = AC^2 + BC^2.

BM^2 + MA^2 = (BC/2)^2.

Так як BC = CK + KB, а CK : KB = 2 : 1, то маємо:

BC = 3KB.

Отже,

BM^2 + MA^2 = (3KB/2)^2.

BM^2 + MA^2 = 9KB^2/4.

Але BM = MA, тому:

2BM^2 = 9KB^2/4.

BM^2 = 9KB^2/8.

Підставимо це значення в попередню рівність:

2BM^2 + 2MA^2 = 9KB^2/2.

Звідси:

BM^2 + MA^2 = 9KB^2/4 = (3KB/2)^2.

Отже, за теоремою Піфагора, трикутник AMK є прямокутним, і КМ є його серединою.

Тому, за теоремою про медіану, середина медіани лежить на відрізку АК.

Отже, М лежить на АК, що й треба було довести.