165. Один з гострих кутів прямокутного трикутника у 2 рази більший за другий. Знайдіть ці кути. 166. Знайдіть менший з кутів, утворених при перетині бісек- триси прямого кута трикутника і гіпотенузи, якщо один з i гострих кутів трикутника дорівнює 38°. i 167. Бісектриси гострого і прямого кутiв прямокутного трикут- ника при перетині утворюють кути, один з яких дорівнює 100°. Знайдіть гострі кути трикутника. 168. З вершини прямого кута прямокутного трикутника прове- дено бісектрису і висоту, кут між якими дорівнює 19°. Знайдіть гострі кути трикутника. 169. У трикутнику ABC ZC = 90°. Висота CD утворює з катетом АС кут, що дорівнює 43°. Знайдіть гострі кути трикутника.​

Ответ:

165. Позначимо менший з кутів прямокутного трикутника через x. Тоді за умовою другий кут дорівнює 2x. Оскільки сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180°, то третій кут можна знайти як 90° - x - 2x = 90° - 3x. Отже, маємо систему рівнянь:

x + 2x + (90° - 3x) = 180°

6x = 90°

x = 15°

Таким чином, менший з кутів дорівнює 15°, а більший - 30°.

166. Оскільки один з гострих кутів трикутника дорівнює 38°, то інший гострий кут дорівнює 90° - 38° = 52°. Також за умовою в задачі йдеться про бісектриси прямого кута трикутника, тому кожен з них ділить прямий кут на два рівні кути по 45°. Тому менший з кутів, утворених при перетині бісектрис і гіпотенузи, дорівнює (45° - 38°/2) = 26°.

167. Оскільки один з кутів, утворених бісектрисами прямого кута трикутника, дорівнює 100°, то інший кут ділиться на два рівні кути по (180° - 100°)/2 = 40°. Оскільки один з гострих кутів трикутника дорівнює також цій величині, то інший гострий кут також дорівнює 40°.

168. Позначимо гострий кут прямокутного трикутника, що лежить проти вершини, з якої проведено бісектрису і висоту, через x. Оскільки кут між бісектрисою і висотою дорівнює 19°, то інший кут, який ділиться бісектрисою, дорівнює 2x. З іншого боку, оскільки ці дві лінії є бісектрисами кута, то кожен з них ділить протилежний гострий кут на два рівні частини. Отже, другий гострий кут дорівнює 2(90°-x) = 180°-2x. Так як сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180°, то маємо рівняння:

x + 180°-2x + 90° = 180°

x = 26°

Отже, гострі кути трикутника дорівнюють 26° та 64°.

169. Оскільки ZC = 90°, то трикутник ABC є прямокутним з прямим кутом в точці C. Оскільки CD є висотою трикутника, то вона перпендикулярна до сторони AB. Отже, кут ADC є прямим кутом, тобто внутрішній кут при вершині D дорівнює 90°. Кут між висотою CD і катетом AC дорівнює 43° за умовою, тому другий гострий кут трикутника ADC дорівнює 90°-43°=47°. Так як сума всіх кутів в трикутнику дорівнює 180°, то перший гострий кут трикутника ABC дорівнює 180°-90°-47°=43°. Отже, гострі кути трикутника ABC дорівнюють 43°, 47° та 90°.