найти площадь правильного пятиугольника, если его сторона 3 см, а радиус вписанной в него окружности 2 см​

Ответ:

Площадь правильного пятиугольника можно вычислить по формуле:

S = (5/4) * a^2 * cot(pi/5),

где a - длина стороны пятиугольника.

Также известно, что радиус вписанной в правильный пятиугольник окружности равен:

r = a/2 * tan(pi/10).

Подставляя значения, получим:

r = 2 см, a = 3 см.

Тогда:

S = (5/4) * 3^2 * cot(pi/5) = 7.38 см^2 (округляем до сотых).

Ответ: площадь правильного пятиугольника равна 7.38 см^2.

Объяснение:

Правильный пятиугольник состоит из пяти равных равносторонних треугольников. Радиус вписанной окружности является расстоянием от центра правильного пятиугольника до центра его стороны (см. изображение ниже).


Таким образом, мы можем построить высоту треугольника, проводя ее из центра вписанной окружности перпендикулярно стороне. Значение этой высоты можно найти с помощью теоремы Пифагора:

$(\text{длина основания})^2 = (\text{половина длины стороны})^2 + (\text{высота})^2$

$(3/2)^2 = (\frac{3}{2\sqrt{3}})^2 + (\text{высота})^2$

$\text{высота} = \frac{\sqrt{15}}{2}$

Теперь мы можем найти площадь одного треугольника (а затем и всего пятиугольника, умножив ее на 5), используя формулу:

$\text{площадь} = \frac{\text{основание} \times \text{высота}}{2}$

$\text{площадь} = \frac{3 \times \sqrt{15}/2}{2}$

$\text{площадь} = \frac{3\sqrt{15}}{4}$

Таким образом, площадь правильного пятиугольника с длиной стороны 3 см и радиусом вписанной окружности 2 см равна:

$\text{площадь} = 5 \times \frac{3\sqrt{15}}{4} = \frac{15\sqrt{15}}{4} \approx 65,79$ см$^2$.