Геометрия 8кл Движение

Чтобы доказать, что четырехугольник АВА1В1 является параллелограммом, нужно показать, что его противоположные стороны параллельны. Рассмотрим стороны АВ и А1В1. Из условия задачи известно, что АВ || А1В1 (они являются боковыми сторонами параллелограмма). Таким образом, осталось доказать, что стороны А1В1 и ВА параллельны друг другу. Для этого воспользуемся свойством параллельных прямых: если две прямые параллельны, то любой угол между ними равен соответствующему углу при пересечении этих прямых третьей прямой. Представим, что АВ и А1В1 пересекаются в точке С. Тогда у нас имеются два треугольника: АВС и А1В1С. Они являются подобными, так как угол АВС равен углу А1В1С (они соответственны друг другу при пересечении прямых АВ и А1В1), а угол САВ равен углу СА1В1 (они вертикальные). Следовательно, соотношение сторон в этих треугольниках также равно. Теперь рассмотрим углы между сторонами А1В1 и ВА. Угол ВА1С равен углу АСВ (они соответственны друг другу), а угол А1СВ равен углу ВСА (они вертикальные). Значит, эти углы также равны друг другу. Из этого следует, что стороны А1В1 и ВА параллельны друг другу, так как они соответственные стороны подобных треугольников АВС и А1В1С. Теперь докажем, что полупрямые АВ и А1В1 противоположно направлены. Предположим, что это не так, тогда у нас имеется угол между этими полупрямыми, равный меньше 180 градусов. Но так как стороны АВ и А1В1 параллельны, угол между этими полупрямыми должен быть 180 градусов, что противоречит предположению. Следовательно, полупрямые АВ и А1В1 противоположно направлены.