Площа круга, вписаного в рівнобічну трапецію, дорівнює 12п см2, а гострий кут трапеції дорівнює 60° . Знайдіть площу трапеції.

Ответ:

Для того, щоб знайти площу рівнобічної трапеції, спочатку знайдемо радіус вписаного круга (r), а потім відрізки, що відповідають основам трапеції (a та b), та висоту трапеції (h).

Знаходимо радіус вписаного круга (r):

Площа круга = πr², отже:

12π = πr²

12 = r²

r = √12 = 2√3 см

Знаходимо основи трапеції (a та b):

Оскільки круг вписаний в трапецію, його радіус проводиться до середини гострого кута 60°. Таким чином, утворюється прямокутний трикутник з кутами 30°, 60° та 90°. Відомо, що для такого трикутника сторони співвідносяться як 1:√3:2.

Відрізок, що є основою трапеції, дорівнює 2r. Оскільки r = 2√3, то одна з основ трапеції (a) дорівнює 4√3 см. Іншу основу (b) знайдемо за формулою: b = a + 2r = 4√3 + 4√3 = 8√3 см.

Знаходимо висоту трапеції (h):

Висота трапеції дорівнює довжині катета у прямокутному трикутнику з кутами 30°, 60° та 90°. Оскільки радіус круга (r) дорівнює 2√3 см, то висота трапеції (h) дорівнює r√3 = (2√3)√3 = 6 см.

Знаходимо площу трапеції (S):

S = (a + b) * h / 2 = (4√3 + 8√3) * 6 / 2 = 12√3 * 6 / 2 = 6 * 12√3 = 72√3 см².

Отже, площа рівнобічної трапеції дорівнює 72√3 см².