Знайдiть площу повної поверхні циліндра, якщо діагональ його осьового перерізу дорівнює d і утворює кут а(альфа) з твiрною конуса.​

Ответ:

Для знаходження площі повної поверхні циліндра потрібно знати його радіус та висоту. Оскільки в задачі не надано безпосередньо цих даних, потрібно спочатку знайти радіус R та висоту H циліндра.

Діагональ осьового перерізу циліндра дорівнює діаметру основи, тобто 2R. За теоремою косинусів, знаходження довжини бічної грані конуса (рисунок):

cos(a) = H / l,

де l - радіус основи конуса, який дорівнює R. З цього випливає:

H = l * cos(a) = R * cos(a)

Далі, з теореми Піфагора для трикутника, що утворений діагоналлю осьового перерізу циліндра, його висотою H та півдіаметром основи R, маємо:

d^2 = H^2 + (2R)^2

Після підстановки H = R*cos(a) та спрощення отримуємо:

4R^2 = d^2 / (1 - cos^2(a))

R = sqrt(d^2 / (4*(1 - cos^2(a))))

H = R * cos(a)

Отже, знайшовши радіус та висоту циліндра, можна знайти його площу повної поверхні:

S = 2πR^2 + 2πRH

= 2πR(R + H)

= 2πR(R + R*cos(a))

= 2πR^2(1 + cos(a))

Тому, площа повної поверхні циліндра діаметром основи d, який утворює кут а(альфа) з твірною конуса, дорівнює:

S = 2πR^2(1 + cos(a)) = 2π*(d^2 / (4*(1 - cos^2(a))))*(1 + cos(a)) = πd^2/(2(1 - cos(a)))