Дано три сфери радіусом R, які перетинаються між собою. Три точки дотика на зовнішніх поверхнях цих сфер утворюють трикутник ABC. Для кожної з трьох пар вершин зовнішнього трикутника, утвореного дотиками до двох з сфер, побудуйте пряму, яка є общою для двох цих сфер. Доведіть, що всі три отримані прямі перетинаються в одній точці, і знайдіть цю точку перетину.

Ответ:

Объяснение:

Спочатку помітимо, що дотики до кожної з сфер зовнішнього трикутника утворюють кут 90 градусів з променем, що йде до центру сфери. Отже, для кожної пари вершин трикутника ми можемо побудувати дві прямі, які проходять через центри відповідних сфер і дотикаються до тих двох сфер, які мають спільну вершину.

Позначимо центри сфер як O1, O2 та O3, і з'єднаємо їх з відповідними точками дотику A, B та C, щоб утворити три трикутники AOB, BOC та COA. За теоремою про кут на дугу, кут AOB (і аналогічно кути BOC та COA) дорівнює половині кута між променями, які йдуть від центрів сфер O1 та O2, O2 та O3, O3 та O1 відповідно.

За умовою, всі три сфери перетинаються, тому центри O1, O2 та O3 лежать на одній площині. Отже, кути AOB, BOC та COA утворюють трикутник. За теоремою про трикутники, сума кутів всередині будь-якого трикутника дорівнює 180 градусам. Таким чином, сума кутів AOB, BOC та COA дорівнює 180 градусам.

Звідси випливає, що прямі AO1, BO2 та CO3 перетинаються в одній точці (центрі трикутника AOB, BOC та COA), оскільки кожні дві прямі вже перетинаються відповідно в точках O1, O2 та O3. Точка перетину прямих AO1, BO2 та CO3 є центром вписаної сфери трикутника ABC. Цей результат є відомим фактом в геометрії, відомим як теорема Менелая.